La suma de las distancias desde el circuncentro de un triángulo a sus lados es igual a la suma de los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita del triángulo, tomando con signo negativo la distancia al lado opuesto al ángulo obtuso, si lo tiene.
Este es uno de los resultados conocidos con el nombre de “teorema de Carnot“, demostrado en artículo 137 de su Géométrie de position con la figura adjunta.
El argumento de Carnot, con las letras de la figura siguiente y siendo 
El cuadrilátero 
y permutando letras cíclicamente tenemos las ecuaciones
que sumadas dan
![s \cdot R = s \cdot (d_A+d_B+d_C) - [a\cdot d_A + b \cdot d_B + c \cdot d_C]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=s%20%5Ccdot%20R%20%3D%20s%20%5Ccdot%20%28d_A%2Bd_B%2Bd_C%29%20-%20%5Ba%5Ccdot%20d_A%20%2B%20b%20%5Ccdot%20d_B%20%2B%20c%20%5Ccdot%20d_C%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "s \cdot R = s \cdot (d_A+d_B+d_C) - [a\cdot d_A + b \cdot d_B + c \cdot d_C]")
Pero los términos de la expresión entre corchetes son las áreas de 
Entonces 
Si
y el área de 
Carnot concluye el artículo 137 con dos corolarios:
(1) – La suma de las distancias desde el ortocentro de un triángulo a sus vértices es igual a la suma de los diámetros de las circunferencias circunscrita e inscrita del triángulo, tomando con signo negativo la distancia al ángulo obtuso, si lo hay.
Porque la distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circumcentro al lado opuesto, resultado demostrado por Carnot en el artículo 131.
(2) – El radio de la circunferencia inscrita entre el radio de la circunferencia circunscrita es igual a la suma de los cosenos de los ángulos disminuida en 1.
Porque 
