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El punto de Herón vía Pappus
En la entrada anterior dimos la demostración de Herón de que las rectas y de la figura se cortan en la altura desde . Aquí demostramos ese hecho usando el dual del teorema de Pappus. De la aplicación...
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El punto de Herón vía Ceva
El teorema de Ceva afirma que, con las letras de la figura, se cortan en un punto si y solo si Aplicando ese teorema Gergonne dio una demostración1 del hecho de que las líneas de la figura se cortan...
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El punto de Herón con la razón doble
Demostramos aquí la generalización, mencionada en la entrada anterior, de la concurrencia de Herón al caso en que el ángulo no es recto. En concreto se demuestra que si, en la figura, son...
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En torno a la figura de Euclides I.47
Demostramos aquí alguna propiedad adicional de la figura de la proposición I.47 de los Elementos de Euclides. En la figura tenemos cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo . En...
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Morley trigonométrico
Introducción Las líneas de puntos de la figura siguiente son trisectores interiores y exteriores de los ángulos del triángulo . Por el teorema de Morley, esas líneas se cortan en vértices de triángulos...
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Euclides III.35
Por la proposición VI.13 (o II.14) de los Elementos de Euclides, el segmento de la figura es la media geométrica de y , es decir , cualquiera que sea la posición del punto en el segmento . Por otro...
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Un teorema de Newton
Sea una curva algebraica de grado y dos rectas que cortan a la curva en el plano real, cada una en puntos. Para cada recta, formamos el producto de las distancias desde el punto de intersección de las...
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Un teorema de Carnot (art. 137)
La suma de las distancias desde el circuncentro de un triángulo a sus lados es igual a la suma de los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita del triángulo, tomando con signo negativo la...
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Teorema de Carnot sobre curvas transversales
Sea un triángulo y una curva algebraica de grado que corta a cada lado del triángulo en puntos. Designamos con el producto de las distancias desde el punto a los puntos de intersección de la recta con...
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Superficies transversales
Sea en el espacio una superficie algebraica de grado y un cuadrilátero , en general alabeado, cuyos lados o sus prolongaciones cortan a la superficie cada uno en puntos. Si designamos con el producto...
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El teorema de Carnot en Poncelet
En el artículo 34 del “Traité des propriétés projectives des figures” (1822), Poncelet da una demostración simple del teorema de Carnot para el caso de una curva de segundo grado, es decir, de una...
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Apolonio III.16-21 via Poncelet-Carnot
Si dos cuerdas de una cónica se cortan en un punto y otras dos cuerdas , paralelas a las anteriores, se cortan en un punto , se cumple la relación entre segmentos indicada en la figura. Si desplazamos...
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Ángulo recto focal
En los Elementos de Euclides (proposición VI.3) se demuestra que, si D está en el segmento BC, AD es bisectriz del ángulo BAC si y solo si BD/CD = BA/CA. La recta AE, perpendicular a AD, será entonces...
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Ángulo recto focal (II)
Del argumento de la entrada anterior podemos concluir que el segmento HK que resulta de proyectar sobre la directriz una cuerda focal CD desde un punto P de la cónica subtiende un ángulo recto desde el...
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Apolonio I.21
Dados un diámetro AB, un lado recto AC y una dirección de ordenadas ST, en las proposiciones 13 y 12 del primer libro de las Cónicas, Apolonio caracteriza en el plano a la elipse y a la hipérbola como...
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Media armónica focal
Demostramos aquí que, en cualquier cónica, la media armónica de los dos segmentos que separa el foco en las cuerdas que pasan por él, o cuerdas focales, es la misma para todas esas cuerdas. Esa media...
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El foco y el lado recto
En una cónica la cuerda focal perpendicular al eje es igual al lado recto correspondiente al eje. Para la parábola los antiguos griegos definían al punto que desde Kepler llamamos foco como el punto...
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Cuerdas focales iguales
Dada una cónica y una longitud de una cuerda focal, está dada la razón de los segmentos de la cuerda separados por el foco, porque la media armónica de esos segmentos es fija. Por tanto la figura...
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Una construcción de la osculatriz
Dada una cónica y la tangente en un punto P (que no sea extremo de ejes) podemos obtener el centro de la circunferencia osculatriz en P de la siguiente forma: Trazamos la simétrica de la tangente...
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El teorema de Ceva en Johann Bernouilli
El teorema hoy llamado de Ceva, que 600 años antes apareció en el Istikmal de Al-Mutamán, era atribuido a Johann Bernouilli antes de que Michel Chasles, en su Aperçu historique…. (1837), nota VII,...
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