Suma de los inversos de los cuadrados

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Clik here to view. $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \ = \ \frac{\pi^2}{6}$

La siguiente demostración, que no usa cálculo diferencial ni series infinitas, está tomada del libro de A.M.Yaglom & I.M.Yaglom, “Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions“.

A partir de la fórmula del seno del ángulo múltiplo obtenemos las raíces de determinado polinomio y de ahí unas identidades trigonométricas que junto con un hecho básico de trigonometría elemental nos llevan al resultado final.

A partir de la fórmula del seno del ángulo múltiplo…

De la fórmula de De Moivre Image may be NSFW.
Clik here to view. $(\cos \alpha+i\mathrm{sen }\ \alpha)^n = \cos n\alpha +i\mathrm{sen }\ n\alpha$ , o bien por inducción, se deduce la fórmula general para el seno del ángulo múltiplo
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Clik here to view. $\displaystyle \mathrm{sen }\ n\alpha = \sum_{\substack{k\ge 1\\k\ \text{impar}}} (-1)^{(k-1)/2}\binom{n}{k}\mathrm{sen }^k \alpha \cos^{n-k} \alpha$
Usando la cotangente Image may be NSFW.
Clik here to view. $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\mathrm{sen } \alpha}$ , tenemos Image may be NSFW.
Clik here to view. $\mathrm{sen }^k \alpha \cos^{n-k} \alpha = \mathrm{sen }^n \alpha \cot^{n-k} \alpha$ y
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Clik here to view. $\displaystyle \mathrm{sen }\ n\alpha = \mathrm{sen }^n \alpha \cdot \Big( \sum_{\substack{k\ge 1\\k\ \text{impar}}} (-1)^{(k-1)/2}\binom{n}{k}\cot^{n-k} \alpha \Big)$ .

…obtenemos las raíces de determinado polinomio…

Supongamos que Image may be NSFW.
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es impar. Si Image may be NSFW.
Clik here to view. $\alpha=\frac{j\pi}{n},\ j\!\!=\!\!1,\ldots,\frac{n-1}{2},\$ entonces Image may be NSFW.
Clik here to view. $\ \mathrm{sen }\ n\alpha = 0$ y Image may be NSFW.
Clik here to view. $\mathrm{sen }\ \alpha \neq 0$ . La fórmula anterior implica que para esos valores de Image may be NSFW.
Clik here to view. $\alpha$ ,
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Clik here to view. $\displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1\\k\ \text{impar}}} (-1)^{(k-1)/2}\binom{n}{k}\cot^{n-k} \alpha = 0$ o, si Image may be NSFW.
Clik here to view. m=(n-1)/2

,
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Clik here to view. $\displaystyle \binom{2m+1}{1}\cot^{2m} \alpha - \binom{2m+1}{3}\cot^{2m-2} \alpha + \binom{2m+1}{5}\cot^{2m-4} \alpha - \ldots = 0$
Por tanto las raíces del polinomio de grado Image may be NSFW.
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Clik here to view. $\displaystyle \binom{2m+1}{1} x^{m} - \binom{2m+1}{3}x^{m-1} + \binom{2m+1}{5}x^{m-2} - \ldots = 0$ son los valores Image may be NSFW.
Clik here to view. $\cot^2 \dfrac{j\pi}{2m+1}, \ \ j\!=\!1,\ldots,m$ , que son todos diferentes pues Image may be NSFW.
Clik here to view. $0 < \dfrac{j\pi}{2m+1} < \pi/2$ .

…y de ahí unas identidades trigonométricas…

Si Image may be NSFW.
Clik here to view. $r_1,r_2,\ldots,r_n$ son las raíces de un polinomio Image may be NSFW.
Clik here to view. $ax^n + bx^{n-1} + \ldots = 0$ , tenemos que Image may be NSFW.
Clik here to view. $ax^n + bx^{n-1} + \ldots = a(x-r_1)(x-r_2)\ldots (x-r_n) = ax^n - a\sum r_i\ x^{n-1} + \ldots$ y por tanto Image may be NSFW.
Clik here to view. $\sum r_i = -b/a$ .
Aplicando esta fórmula al polinomio del párrafo anterior, resulta
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Clik here to view. $\displaystyle \sum_{k=1}^{m} \cot^2 \frac{k\pi}{2m+1} \ = \ \binom{2m+1}{3}/\binom{2m+1}{1} \ = \ \frac {m(2m-1)}{3}$
y como Image may be NSFW.
Clik here to view. $\csc^2 \alpha = 1/\mathrm{sen }^2 \alpha = \cot^2 \alpha + 1$ ,
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Clik here to view. $\displaystyle \sum_{k=1}^{m} \csc^2 \frac{k\pi}{2m+1} \ = \ \frac {m(2m-1)}{3} + m \ = \ \frac {m(2m+2)}{3}$

…que junto con un hecho básico de trigonometría elemental…

Si en la figura el radio Image may be NSFW.
Clik here to view. OB=1

y el ángulo Image may be NSFW.
Clik here to view. $\angle SOB = \alpha$ , tenemos que Image may be NSFW.
Clik here to view. $SA = \mathrm{sen } \alpha$ , el arco Image may be NSFW.
Clik here to view. $SB = \alpha$ , y Image may be NSFW.
Clik here to view. $TB = \tan \alpha$ .
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Clik here to view. trigonelemdes2

Si Image may be NSFW.
Clik here to view. $\ 0 \!< \! \alpha \!<\! \pi/2$ , el área del triángulo Image may be NSFW.
Clik here to view. $\triangle OSB$ es menor que el área del sector circular Image may be NSFW.
Clik here to view. OSB

, que es menor que el área del triángulo Image may be NSFW.
Clik here to view. $\triangle OTB$ .
Pero esas áreas son respectivamente iguales a Image may be NSFW.
Clik here to view. $\dfrac{\mathrm{sen } \alpha}{2}, \dfrac{ \alpha}{2} \text{ y }\dfrac{\tan \alpha}{2}$
Por tanto si Image may be NSFW.
Clik here to view. $\ 0 < \alpha < \pi/2, \ \ \mathrm{sen } \alpha < \alpha < \tan \alpha$ .

Y como Image may be NSFW.
Clik here to view. $\cot \alpha = 1/\tan \alpha$ , y Image may be NSFW.
Clik here to view. $\csc \alpha = 1 / \mathrm{sen } \alpha$ , resulta que Image may be NSFW.
Clik here to view. $\ \ \cot^2 \alpha < 1/\alpha^2 < \csc^2 \alpha$ .

…nos llevan al resultado final.

Por tanto, tomando Image may be NSFW.
Clik here to view. $\alpha = \frac{k\pi}{2m+1}$ y sumando,
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Clik here to view. $\displaystyle \frac {m(2m-1)}{3}= \sum_{k=1}^{m} \cot^2 \frac{k\pi}{2m+1} < \sum_{k=1}^{m} \Big( \frac{2m+1}{k\pi}\Big)^2 < \sum_{k=1}^{m} \csc^2 \frac{k\pi}{2m+1} = \frac {m(2m+2)}{3}$ .
Y como Image may be NSFW.
Clik here to view. $\dfrac {m(2m-1)}{3} \ = \ \dfrac{1}{6}( (2m+1)^2 - 3(2m+1) + 2)$
y Image may be NSFW.
Clik here to view. $\dfrac {m(2m+2)}{3} \ = \ \dfrac{1}{6}( (2m+1)^2 - 1)$ , multiplicando por Image may be NSFW.
Clik here to view. $\frac{\pi^2}{(2m+1)^2}$ tenemos
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Clik here to view. $\displaystyle \frac {\pi^2}{6}(1 - \frac{3}{2m+1} + \frac{2}{(2m+1)^2}) \ < \ \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{k^2} \ < \ \frac {\pi^2}{6}(1 - \frac{1}{(2m+1)^2})$ , para todo Image may be NSFW.
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Tomando Image may be NSFW.
Clik here to view. suficientemente grande podemos hacer que los valores izquierdo y derecho se acerquen todo lo que queramos a Image may be NSFW.
Clik here to view. $\pi^2/6$ , con lo que concluimos que
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Clik here to view. $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \ = \ \frac{\pi^2}{6}$ como queríamos demostrar.

Suma de los inversos de los cuadrados

A partir de la fórmula del seno del ángulo múltiplo…

…obtenemos las raíces de determinado polinomio…

…y de ahí unas identidades trigonométricas…

…que junto con un hecho básico de trigonometría elemental…

…nos llevan al resultado final.

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